martes, 4 de junio de 2013

Solución al número que no deja fracciones

Por fin toca desvelar cuál es el número que se pedía en este problema, que sé que muchos lo estáis deseando.

http://breakinmylife.blogspot.com.es/2013/05/el-numero-que-no-deja-fracciones.html

He recibido respuestas de todo tipo, pero sólo una persona ha conseguido resolver todos los apartados correctamente.

Apartado 1. Un número que pueda dividirse exactamente por todos los dígitos, del 1 al 9, ambos inclusive.

Hay infinitos números que serían la solución a este problema. Uno de ellos, el más sencillo de hallar es el número que se obtiene de multiplicar todos los números del 1 al 9.





$$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 8 \cdot 9 = 362880 $$

Este número se escribe como 9! y se lee "9 factorial". Los factoriales son los números que se obtienen al multiplicar todos los números desde el 1 hasta otro número.

$$n! = \prod_{i=1}^n i $$= $$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$$

Son muy utilizados en combinatoria y probabilidad, y obviamente son divisibles por todos los números desde 1 hasta $n$.

Apartado 2. De entre todos los números que cumplen el apartado 1, ¿cuál es el menor de ellos?

El problema que tienen es que crecen extremadamente deprisa, más rápido incluso que las funciones exponenciales, por lo que el número 362880 se podrá reducir un poquito. El truco ahora es descomponer los números del 1 al 9 en factores primos y coger la menor cantidad posible para formar un nuevo número.

$$1 = 1$$ (este casi que le ignoramos, puesto que multiplicar por 1...)
$$2 = 2$$
$$3 = 3$$
$$4 = 2^2$$
$$5 = 5$$
$$6 = 2\cdot 3$$
$$7 = 7$$
$$8 = 2^3$$
$$9 = 3^2$$

Su buscan los mayores exponente de cada número primo.

  • $p=2$ El mayor exponente está en el $8$, donde tenemos $2^3$
  • $p=3$ El mayor exponente está en el $9$, donde tenemos $3^2$
  • $p=5$ El mayor exponente está en el $5$, donde tenemos $5^1$
  • $p=7$ El mayor exponente está en el $7$, donde tenemos $7^1$
El siguiente número primo es el $11$ y de estos no tenemos ya ninguno. Con lo que si ahora hacemos el número:

$$2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$$

Ya tenemos el número buscado! 2520. Era complicado encontrarlo si tienes que ir probando uno por uno.

Apartado 3. ¿Y si además de pedir que sea divisible por todos los números de 1 al 9 también pido que sea un cuadrado perfecto?

Para resolver este apartado hay que comprender cómo se relacionan el hacer la raíz cuadrada de un número con la factorización en números primos de este número.

$$\sqrt{67600} = \sqrt{2^4 \cdot 5^2 \cdot 13^2} = 2^2 \cdot 5^1 \cdot 13^1 = 260$$

Es fácil demostrar que al hacer la raíz cuadrada, si conocemos la factorización del número lo único que tenemos que hacer es dividir los exponentes entre 2 y ya tendremos el resultado. Por tanto, una raíz cuadrada nos va a salir exacta sólo si los exponentes del número son todos pares. En el ejemplo anterior nos ha salido exacto porque los exponentes eran 4, 2 y 2. Si por ejemplo tratamos de calcular la raíz cuadrada de 882:

$$\sqrt{882} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$$

Los exponentes ahora son 1, 2 y 2. Como no todos son pares, la raíz no va a salir exacta como se puede comprobar con una calculadora:

$$\sqrt{882} = 29,6984 \ldots$$

Una vez entendido esto, volvemos a nuestro número 2520 y vemos que sus exponente son 3, 2, 1 y 1. Obviamente no son todos pares. Si lo multiplicamos por dos tendremos exponentes 4, 2, 1 y 1. Si lo multiplicamos por cinco y también por 7 ahora tendremos exponentes 4, 2, 2 y 2.

Por tanto el número $$2520 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = 176400$$

Es el número más pequeño divisible por todos los dígitos del 1 al 9 y que además es un cuadrado perfecto. Su raíz cuadrada es $420$

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