jueves, 23 de mayo de 2013

¿Ver para creer? Números perfectos

¿Qué es mayor, el 36% de 79 o el 79% de 36? Suelta la calculadora que te he pillado. No hace falta calcular los números. Basta con darse cuenta de lo siguiente:

$\frac{36}{100} \cdot 79 = \frac{79}{100} \cdot 36$

Es decir, que ambas cantidades son iguales y hemos podido deducir esto sin tener que calcularlas o tenerlas delante para comprobarlo. Eso es algo muy habitual en matemáticas, podemos deducir propiedades o características que tienen ciertos objetos sin tener que visualizarlos primero. Un ejemplo sencillo es el siguiente. Representa en un eje de coordenadas la función

 $y = \frac{x^3 - x + \log (x^2+1)}{\sqrt{x^6+2}}$

¿Y para ello qué es lo que hacemos? Cualquiera que esté ya en bachillerato hará cosas como estas:

  • Calcular puntos de corte con los ejes
  • Calcular asíntotas
  • Calcular límites
  • Calcular derivadas
  • Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión
  • ...
Es decir, utilizamos unos cuantos teoremas, algoritmos o series  de pasos que nos han enseñado para empezar a deducir información de la función, y utilizamos esta información para poder dibujarla. Estamos obteniendo mucha información de ella sin ni siquiera tenerla delante de los ojos. Para los curiosos, la función del ejemplo tendría la siguiente forma:


Todo esto sirve como introducción para lo que tenía pensado explicaros ahora. ¿Sabes lo que es un número perfecto?

Se dice que un número es perfecto si la suma de sus divisores, excluyéndose a él mismo, es igual al propio número.

Por ejemplo:
  • 28 es un número perfecto porque sus divisores son 1, 2, 4, 7 y 14, y todos estos números suman 28.
Los números que no son perfectos se dividen en dos categorías: Abundante, si la suma de sus divisores es mayor que el número, o deficiente si es menor,

Por ejemplo:

  • 40 es abundante porque sus divisores son 1, 2, 4, 5, 8, 10 y 20, los cuales suman 50 que es mayor que 40.
  • 41 es deficiente porque al ser un número primo, su único divisor distinto de él mismo es el 1, el cual lógicamente suma menos que 41.
Los números perfectos son de gran interés en teoría de números. Los primeros en la lista son:

$6, \, 28, \ 496, \, 8128, \, 33550336, \, \ldots$

Y siguen creciendo a un ritmo exponencial, por lo que son muy escasos. Existe un teorema, probado por Euler en el siglo XVIII, que dice lo siguiente:
  • Todos los números perfectos pares son de la forma $2^{p-1}(2^p -1)$ donde $p$ es un número primo de Mersenne.
No voy a centrarme ahora en qué son los primos de Mersenne o en los detalles de la demostración de este teorema sino en un pequeño detalle que llama la atención. ¿Números perfectos pares? ¿Acaso no hay números perfectos impares? Pues nadie lo sabe y es una pregunta abierta hoy en día. Nadie ha sido capaz de encontrar uno pero tampoco se ha podido demostrar que no existan. Pero sin embargo, volviendo a las ideas del principio de esta entrada, podemos saber muchas cosas de ellos sin ni siquiera tener el número delante nuestro. Por ejemplo, sabemos que un número perfecto impar (en caso de existir) debe cumplir todas estas condiciones:
  • Tiene que tener más de 1500 dígitos
  • No es divisible por 105, lo cual significa que tampoco es divisible por 3, por 5 ni por 7.
  • El mayor factor primo de ese número debe ser mayor que 100.000.000
  • Tiene al menos 101 factores primos, de los cuales al menos 9 deben ser diferentes.
  • ...
Y unos cuantos resultados más que nos van indicando la forma que debe tener ese número misterioso (en caso de existir). Las pruebas de estos resultados son de extrema dificultad y se escapan de los contenidos que pretendo dar en la entrada.

Con esto queda más que demostrado que en matemáticas no hay que tener delante el material para poder trabajar con él.

Prometo no poner tanta fórmula en mis próximas entradas ;)





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